上期讲的中心极限定理说的是当独立同分布的样本“序列”集合在一起时，当样本量趋于无限大时，这个“集合”的总体是符合正态分布的。
今天聊的话题是，当总体符合正态分布时，对总体进行随机抽样，这些“抽样”的分布特点，本期先聊聊t分布。理解抽样分布的特点有助与理解为什么有时需要t检验，有时需要X2检验，有时又需要F检验。
抽样方法：抽样有随机抽样和非随机抽样，非随机抽样表示在一个总体内，你带有一定目的的抽样，比如说你有X国X省冠心病男性患者的数据，但你只想抽75岁以上患者的数据分析，此时你研究的数据相对于这所医院的患冠心病患者的总体来讲，一定会存在抽样偏差。为了避免这种偏差，你可以采用把所用的患者不记名排序，随机选号抽样（简单随机抽样）；或者按不同年龄段患者总数的比例，按照比例盲选样本（类型抽样）；或者也可以把患者按年龄不记名排序，以年龄的中位数为中心，每隔x个选一个样本（等距抽样）；还有，当你做了几年调查发现，该省每个医院患者年龄结构都差不多，往年调查数据结论也相似，这时，你图省事，随机找两个代表性的医院提供的数据为样本（整群抽样），也是可以的。以上蓝色字部分中，后面四个合称为随机抽样，当然还有别的抽样方式，大家自行了解一下吧。
多次的简单随机抽样中，还有重复抽样和非重复抽样，主要考虑被抽的样本放回和不放回的问题，相信大家很容易联想到二项分布和超几何分布的特点，虽然不是完全一样，但类比一下吧~目前我们主要聊的是更常用的重复抽样哦~
抽样分布的概念：当我们从一个已知的总体中进行独立且随机抽样，每次抽取的样本量相同，样本的统计量（就是样本量，样本成数——也叫样本比率，就是抽样样本量与总体样本量的比值，均值，方差这些）也会根据每次独立抽样而变化，这些随机变化的统计量也有自己的分布，这就是抽样分布了。
平均数的抽样分布的特点：
首先我们设原总体的平均数为μ，方差为σ2，有：
抽样均数的抽样分布的均值为：；
抽样均数的抽样分布方差为：；
其中，抽样均数的方差表示其与总体均值之间的误差，是由随机抽样造成的系统误差，也把抽样均数的抽样分布的标准差称为平均数的标准误，为：；
对一个服从N(μ，σ2)正态分布的总体进行抽样时，其样本平均数的分布是一具有平均数为μ，方差为σ2/n 的正态分布；
对于总体分布不为正态分布的时候，我们也是有办法的，因为我们有中心极限定理呀~如果我们对一个总体（平均数为μ，方差为σ2）不断地进行独立随机抽样，那么这些它们的平均数就符合“独立同分布”的条件了，当抽样平均数的样本量n增大时，抽样平均数的分布越接近N(μ，σ2/n )的正态分布，通常人们以n>=30为界，认为n为30或超过30时，平均数的抽样分布为正态分布。
了解了上面3点，让我们先看下如何应用：
已知总体标准差时：如果我们知道了总体的标准差，而样本均值抽样分布的均值与总体的均值是相等的，相当于我们掌握了总体的信息，此时我们可以求出样本均值抽样分布的特点。
例：已知一正态总体的μ=3，σ=0.707,试求：若n=4，求此时？
解：
查Z值表，得=0.1446；也就是说，当n=4时，样本均值小于2.625的概率为0.1446；
我们通常把来源于总体为正态分布的，已知总体方差时，平均数抽样分布：称为抽样均值服从U分布。
未知总体标准差时：这是常见情况，通常我们需要从抽样分布中探讨总体的分布特点，此时，我们只知道抽样的均值，抽样的方差，不知道总体的情况。但我们知道当n足够大时，抽样均数的抽样分布为正态分布，但反过来推导时，前人发现此时会服从另一种分布，为自由度为n-1的t分布了。怎么推理的我们不管，只要会用就行了。
先看一下概念：当总体的标准差未知时，使用样本的标准差S来代替总体标准差时我们发现：
服从自由度df=n-1的t分布，此时，称为样本标准误差；t分布的分布函数为：
其中，Gam(x)为伽马函数，x表示每次抽样的。（实际上这么给出t分布的定义仍不够严密，t分布要求X服从标准正态分布N（0,1）且S2服从X2(n)的分布，下一讲我们会提及。）
由上图可以得知当自由度df=∞时，同分布变成了N(0,1)的标准正态分布，而其他自由度的t分布都有一个特点，相对与标准正态分布，它们两段“翘”，中间“矮”，说明自由度越低，分布越不集中，由此可见n越大，样本均值的抽样分布的均值约接近总体均值，可信度也越高。
t分布与正态分布相似，都是对称分布，对于t分布，网上也可以查到通过自由度估算其密度函数与x轴之间所围面积的t指标，这个面积就是概率啦~我们来看看怎么利用它！
例：假如在服用某种新药3个月后的7位患者的血压测量结果比服用前分别增加了1.5、2.9、0.9、3.9、3.2、2.1及1.9，请算出服用该药的所有病人血压增加的值的期望的95%置信区间。
解：首先，服用该药的患者之间是独立的，当服用该药的人数接近于无穷时，我们认为患者血压升高量的总体是服从正态分布的。
已知7位患者血压增高值：
标准差为：
此时，标准误为：
由于样本量n=7，很小，因此，服从t分布，且自由度v=n-1=6；
此时我们类比一下正态分布的Z值的意义，Z表示距离均值μ有几个σ？
如果我们把抽样分布的标准误类比于正态分布的σ，那么t值的意义就是：距离均值μ有几个标准误？
好的，我们查t值表，自由度为6时，95%的概率下，t值为2.447，也就是说：要保证95%的置信区间时，均值于95%置信区间的分界点（假设为a）之间的距离时2.447个标准误。
刚刚我们算了标准误为0.39，于是，均值与a的距离为2.447×0.39=0.96；
所以所有病人血压增加的值的期望的有95%的可能落在（2.34-1.38，2.34+1.38），即（1.38，3.30）的区间内；
好了，下期我们聊聊抽样方差的抽样分布吧，拜~